数学で透視図法を学ぶ {お絵描きしたい受験生用}

 <問題> xyz座標上に直線(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(a,b,c)があるとする。
(x1,y1,z1,a,b,cは定数。tは実数で可変。b>0とする。)
直線(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(a,b,c)上の点と点(0,-d,0)を含む直線とy=0平面
の交点をtを使って表せ。(ただし、d>0)
またt→∞の時、その交点はどこに収束するか。






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解答は下にスクロールしたら出てきます。
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お絵描きするには、必要な知識。
でも、お絵描きする時に使うのめんどくさいから使わない

<解答>
下の図を見て考えると解ける。
求める交点のx座標は、直線(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(a,b,c)上の点のx座標(x1+ta)を
d/(y1+tb+d)倍したものとなる。求める交点のz座標も同様である。
求める交点は、
(x,y,z)=( (x1+ta)d/(y1+tb+d), 0 ,(z1+tc)d/(y1+tb+d) )

t→∞の時、求める交点は
(a/b ,0, c/b)となる。
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<解答終わり>
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上図は、目の位置やら紙面やら問題に書いてなかったことをあれやこれや含んでる。
この図が何を意味してるかというと、目で直線(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(a,b,c)を見ると、
紙面上にプロットされた直線のように見えることを意味している。
(人の目だと実は微妙だが、カメラ目ならこのように見える)

ここから、透視図法の話をする。

透視図法とは、絵画の技法であり、紙面奥の点を上図のように紙面上に
のせることである。
ここで、透視図法を使って、馬を描くことを考えよう。
紙面の奥に馬を置いて、馬を構成している点を考えて、
その点と目を結び直線をつくり、その直線と紙面の交点をどんどんプロットすると、
紙面上に馬の絵が描けるのである。
(同じような説明を繰り返してしまった感じがする)

そして、この問題では、馬ではなく直線(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(a,b,c)を
透視図法で紙面上にプロットした。
その結果、この直線は紙面上に
(x,y,z)=( (x1+ta)d/(y1+tb+d), 0 ,(z1+tc)d/(y1+tb+d) )
とプロットできることがわかった。

さらに、この直線のt→∞の点は、透視図法でy=0紙面上の(a/b ,0, c/b)にプロットできる。
この点は、実は、目の位置(0,-d,0)からベクトル(a,b,c)で出した
直線(x,y,z)=(0,-d,0)+s(a,b,c) と、紙面y=0の交点である。
(sは可変とする。これについて各自確認)

なぜ、そうなるかというと、
t→∞になればなるほど、直線(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(a,b,c)上の点と
目の位置(0,-d,0)を結ぶ直線のベクトル方向が、(a,b,c)となるからである。

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この点(a/b ,0, c/b)は消失点と呼ばれる!!!!(お絵描きする人はここが重要)

直線(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(a,b,c)を透視図法で紙面上に描くと
消失点(a/b ,0, c/b)を含む直線となる。
((x1,y1,z1)が何であるにも関わらずにだ！！)
これより、平行な直線は同じ消失点を持つ。

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このことを利用して、建物を紙面上に描いてみよう。(下図)

消失点を使えば、なんとなく建物が描ける。

そういえば、直線を紙面上にプロットするときに、
プロットしたものも直線になるのだろうか？全く気にしてなかったから
証明をしてみよう。
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<問題>

直線(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(a,b,c)上の点と点(0,-d,0)を含む直線とy=0平面

の交点の集合は直線になることを示せ。

<解答>
y=0平面上の(x(t),z(t))=( (x1+ta)d/(y1+tb+d) ,(z1+tc)d/(y1+tb+d) )
が、直線(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(a,b,c)上の点と点(0,-d,0)を含む直線とy=0平面

の交点の集合である。

すべてのtで、傾きdz/dxがある一定の値になれば

この問題の交点の集合が直線になることを示せるはず。

dz/dx=(dz/dt)/(dx/dt)

={d(ay1-bx1+ad)/(y1+tb+d)²} /{d(cy1-bz1+cd)/(y1+tb+d)²}
=(ay1-bx1+ad)/(cy1-bz1+cd)

dz/dxがtに依らずある一定の値を持つために、この問題の交点の集合は直線となる。

<解答終わり>

実は、直線(x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(a,b,c)上の2点と点(0,-d,0)でできる平面と

y=0平面が交わってできる線は直線であるのひとことで終わりなのであった。
なんで解いた後に気付くんだろうか。

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