カップル成立の期待値～

<問題>
100人の男と100人の女がいました。
100人の男は100人の女からランダムに１人の女を選びます。
100人の女は100人の男からランダムに１人の男を選びます。
男と女がお互いに相手を選んだとき、カップル成立とする。
さて、できるカップルの数の期待値を答えよ。






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解答は下にスクロールしたら出てきます。
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<解答>
まず、100人の男が100人の女から１人の女を選ぶ。
一人の女が複数の男から選ばれる場合もあるし、
一人の女がどの男からも選ばれない場合もある。

次に女に1~100の番号をつける。
1番目の女はn1人の男から選ばれた。
2番目の女はn2人の男から選ばれた。
・・・・
100番目の女はn100人の男から選ばれた。

このとき、n1+n2+・・・・・+n100=100である。

次に女が100人の男から１人を選ぶ。

1番目の女が男とカップルになる確率はn1/100
2番目の女が男とカップルになる確率はn2/100
・・・・・・・・・
100番目の女が男とカップルになる確率はn100/100
(自分のことを選んだ男を女が選ぶ確率が、
そのままカップルになる確率と言える。)

100人の男と100人の女からできるカップルの数の期待値は、
n1/100+n2/100+・・・・・n100/100=1 となる。

<解答終わり>

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これは1万人の男と1万人の女であっても、
1億人の男と1億人の女であっても、できるカップルの期待値は1となる。
つまり、この世でカップルができること自体が奇跡に近いはずなのである。
しかし、残念ながら、
男が女を１人だけ選ぶということはなく、複数人選ぶこともありうる。
(また、女→男もしかり)
そういうことを考えると、できるカップルの数の期待値が1より大きくなってしまう。


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ところで、男が女をランダムで選ぶということはなく、
美人の女を選びやすいなどを考えると、できるカップルの数の期待値
はどうなるのであろうか？

<問題>

100人の男と100人の女がいました。

100人の男は100人の女から１人の女を選びます。

100人の女は100人の男から１人の男を選びます。

男には、それぞれ1~100の番号がついてます。

女には、それぞれ1~100の番号がついてます。

iの番号がついた男は自分が女から選ばれる確率はxiです。

iの番号がついた女は自分が男から選ばれる確率はyiです。

ただし、x1+x2+・・・・・+x100=1

y1+y2+・・・・・+y100=1である。

男と女がお互いに相手を選んだとき、カップル成立とする。

できるカップルの数の期待値を示せ。

<解答>

できるカップルの期待値は

1番目の男と1番目の女がカップルになる確率はx1y1

1番目の男と2番目の女がカップルになる確率はx1y2

・・・・・・・・・・・・

100番目の男と100番目の女がカップルになる確率はx100y100

これらの確率をすべて足し合わせると、
(x1+x2+・・・・・+x100)(y1+y2+・・・・・+y100)=1
となる。

ゆえに、できるカップルの期待値は1である。
<解答終わり>

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