楕円を原点中心に回転

<問題>

ax²+by²=1は楕円の式である。(a>0,b>0)　
この楕円を原点中心にxy平面上でθ回転させたときの式は、
31x²+21y²+10√3xy=1となった。
このときのaとbを求めよ。






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解答は下にスクロールしたら出てきます。
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2006の旭川医科大学の後期試験の類題


<解答>
楕円上の点(x,y)を原点中心にθ回転させると、(x',y')に行くとする。
点(x',y')を原点中心に-θ回転すると、点(x,y)に行く。

ゆえに回転行列を使って、
x=x'cosθ+y'sinθ -①
y=-x'sinθ+y'cosθ -②

①,②を、ax²+by²=1に代入すると、
a(x'²cos²θ+2x'y'cosθsinθ+y'²sin²θ)+b(x'²sin²θ-2x'y'cosθsinθ+y'²cos²θ)=1
(acos²θ+bsin²θ)x'²+2cosθsinθ(a-b)x'y'+(asin²θ+bcos²θ)y'²=1

ax²+by²=1　を原点中心にxy平面上でθ回転させたときの式は、

31x²+21y²+10√3xy=1となったので、

acos²θ+bsin²θ=31　-③

asin²θ+bcos²θ=21　-④

2cosθsinθ(a-b)=10√3　-⑤

となる。
③+④より、a+b=52
③-④より、(a-b)cos2θ=10　-⑥
⑤より、 (a-b)sin2θ=10√3 -⑦

√⑥²+⑦²より、a-b=20

a+b=52,a-b=20の連立方程式を解いて、
a=36, b=16となる。

<解答終わり>

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2014から高校数学から行列自体がなくなるらしいので、
こういう問題もなくなってしまうんだろう。

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