x+y+z=kの時、xyzの最大値は？(k>0,x≧0,y≧0,z≧0)

<問題>
x+y+z=kの時、xyzの最大値は？(ただし、k>0,x≧0,y≧0,z≧0とする。)






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解答は下にスクロールしたら出てきます。
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大学生ならラグランジュの未定乗数法で解く。
ここでは、大学受験用の解き方で説明する。

<解答>
まず、zは何かしらの値が与えられているとする。
そのとき、xyzが最大となるのはどんな時かを考える。

つまり、x+y=k-zの時、xyが最大となるのは、
xとyがどんな時かというのを考える。

解きやすくするために、k-z=m(0≦m≦k)とすると、
y=m-xとなる。
すると、xy=x(m-x)= -x²+mx= -(x-m/2)² + m²/4

ゆえに、xyはx=m/2の時、最大となる。
そのとき、y=m-x=m/2となる。
つまり、x=y=m/2の時、xyは最大となる。

次に、zの値をいろいろ変化させて、xyzが最大となるときを探す。

x=y=m/2=α(0≦α≦k)とすると、z= k-x-y= k-2α
xyz= -2α³ +kα² となる。

f(α)= -2α³ +kα²(0≦α≦k)とすると、
f '(α)=-6α² +2kα=(-6α+2k)α
(ここは省略)
0≦α≦kの範囲では、f(α)が最大となるαはk/3となる。

ゆえに、x=y=z=k/3の時、xyzが最大となり、その値は、1/27×k³となる。
<解答終わり>
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x+y+z+w=kの時、xyzwの最大値は？(ただし、k>0,x≧0,y≧0,z≧0,w≧0とする。)
という問題も、上と同じように解いていくと、
x=y=z=w=k/4の時にxyzwの最大値を求めることができることがわかる。

さらに、x+y+z+w+・・・=kの時、x×y×z×w×・・・・の最大値を
求める問題も数学的帰納法で求められるであろう。
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最後に、

x+2y+3z=kの時、xyzの最大値は？(ただし、k>0,x≧0,y≧0,z≧0とする。)

の問題を解くことにする。

x'=x,y'=2y,z'=3zとすると、

x'+y'+z'=kの時、1/6×x'y'z'の最大値は？(ただし、k>0,x'≧0,y'≧0,z'≧0とする。)
と問題を置き換えることができる。
そして、先ほどの問題と同じように解くことができる。

答えは、x=k/3,y=k/6,z=k/9の時、xyzが最大となり、その値は、1/162×k³となる。
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