針が直線に交差する確率(ビュフォンの針)

<問題>
無限平面上に間隔１で平行な直線が並んでいる。
そこに長さ1の針をランダムに落とした時、
針と直線が交差する確率を求めよ。

下図は平行に引かれた直線に8本の針を投げ捨てた図

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解答は下にスクロールしたら出てきます。
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<解説>
ビュフォンの針と呼ばれる有名な問題
まず、並んでいる直線と平行な方向にx軸があると考える。

x軸と針がなす角度がθ以上θ+dθ以下(dθは微小)となる確率p1は、

 

そして、x軸と針がなす角度がθ以上θ+dθ以下(dθは微小)の時、
針が平行な直線と交差する確率p2は、


なぜ、p2=sinθになるかを下で説明する。
話をわかりやすくするために並んでいる直線をy=0,y=1・・・とする。 そして、y=0の直線とy=1の直線の間に針の下側の点があるとする。 針の下側の点のy座標が1-sinθ以上1以下であれば、針と直線は交差する。 針の下側の点のy座標は0以上1以下の値を取ることができるので、 針と直線が交差する確率は{1-(1-sinθ)}/{1-0}=sinθとなる。
下図を参照

p1×p2の値は針をランダムに落として、x軸と針がなす角度がθ以上θ+dθ以下(dθは微小)となり、

なおかつ針が平行な直線と交差する確率である。

針が平行な直線と交差する確率その確率p1×p2を、

θが0のとき、θが0+dθのとき、θが0+2dθのとき、・・・

θがπ-dθの時に関して足し合わせると、

針をランダムに落として針と直線が交差する確率pを求められる。

つまり、p1×p2をθに関して0からπで積分すると、

針をランダムに落として針と直線が交差する確率pを求められる。

<解説終わり>

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これ見てもよくわからなかったらビュフォンの針で検索して他のサイトの

解説を見ることをすすめる。

これの応用問題として2001年東京大学後期試験数学第２問がある。

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