x+y+z=2, xy+yz+zx=-1, xyz=-2のときのx,y,zの値

<問題>
x+y+z=2, xy+yz+zx=-1, xyz=-2のときのx,y,zの値を求めよ。




-----------------------
解答は下にスクロールしたら出てきます。
スポンサードリンク

-----------------------
tに関する３次方程式を下のように書く。
(t-x)(t-y)(t-z)=0
変形すると、
t³-(x+y+z)t²+(xy+yz+zx)t-xyz=0
x+y+z=2, xy+yz+zx=-1, xyz=-2を上の式に代入すると、
t³-2t²-t-2=0　-①
となる。
①の方程式のtの解が x,y,zとなる。
(なぜならば、元々(t-x)(t-y)(t-z)=0だから)

①を因数分解して、x,y,zを出す。
t³-2t²-t-2=(t-1)(t-2)(t+1)=0
ゆえにx,y,zは-1,1,2である。(順不同)
<解答終わり>

------------------------------------------
この解法を知っていたらこういう問題も解ける。
<応用例>
x+y+z=2
x²+y²+z²=6
x³+y³+z³=8
のとき、x,y,zの値を求めよ。

<解答>
(x+y+z)²-(x²+y²+z²)=-2 →xy+yz+zx=-1

(x²+y²+z²)(x+y+z)-(x³+y³+z³)=x²y+x²z+y²x+y²z+z²x+z²y=4 -②
(xy+yz+zx)(x+y+z)=(x²y+x²z+y²x+y²z+z²x+z²y)+3xyz=-2 -③
②、③より、
xyz=-2

x+y+z=2
xy+yz+zx=-1
xyz=-2
のとき、x,y,zの値を求めよ。
という問題に直せる。
これは、一番最初に出てきた問題と同じになる。
(解答はここで割愛)

<解答終わり>

-----------------------------------
1/x +1/y +1/z=3のようなのがでてきても、
x+y+zの値、xy+yz+zxの値、xyzの値を求めるようにすると、
x,y,zの値を求めることができる。

しかし、x+y-z=2のようなのが出てきたら、
(つまり、xとyとzを交換したら意味が変わってしまう式が出てきたら、)
上記のような解法は難しい。
ただ、下のようにx+y-z=2を使って、x,y,zの値を求める問題を作ることもできる。

<問題>
x+y-z=2
xy-yz-zx=-1
xyz=2
のとき、x,y,zの値を求めよ。

<解答例>
z'=-zとすると、

x+y+z'=2

xy+yz'+z'x=-1

xyz'=-2

このときのx,y,z'を求めるには、上記と同じようにする。

ツイート
目次に戻る