2ちゃんねるのクリスマスだから数学の問題でも解いてこうスレに出てきた問題

12/24にニュー速vipに建ったスレ
2ちゃんねるのクリスマスだから数学の問題でも解いてこう 
に出てきた問題をまとめました

>>1
<問題>
(3^n+1)/nが整数となる正の奇数nを全て求めよ 

>>6
<問題>
 n=(a^2+b^2)/(ab+1) が整数の時nは平方数であるのを示せ

>>19
<問題>
x,y,zが正の実数として以下の関数の最小値を求めよ
f(x,y,z):=(x^3+y^3+z^3-3xyz)/|(x-y)(y-z)(z-x)|


>>33
<問題>
十進法表記において、二桁以上の自然数であり、 
一番左の位の数が３、その他の位の数が７となる自然数をSNNN数と呼ぶ。 
また、すべての位が１の自然数をレピュニットと呼ぶ。 
以下の問に答えよ。 

1）　10と互いに素である任意の自然数をNとする。 
　　Nで割り切れるレピュニットが、無数に存在することを示せ。 

2）　任意のSNNN数をSとする。Sで割り切れるSNNN数が無数に存在することを示せ。


>>40
<問題> 

上の図は立体交差している6本の紐を真上から見た図である。
このように立体交差をしているとき、少なくとも一本の紐は直線でないことを示せ。

ただし、
上から見て線と線が交差しているように見える場所は
ある線がもう一つの線の上を通っていることを示す。
(例えば、Aの線はDの線の上を通っている)

(注；この問題では、紐を真上から見た(投影した)ものは直交しているものとしないと解けないので、
紐を真上から見た(投影した)時、直交しているものとする)
解説

>>45
<問題>
e^x-x^e=k の異なる正の解の個数を求めよ 

>>46
<問題>
二項演算#を x#y=(x+y)/(1+xy) と定義する
(1)A=((…(2#3)#4)#5)…)#99)#100 の値を求めよ
(2)n≧2を自然数とし、 a[n]=(1/n)#(1/n)#・・・#(1/n) ←(1/n)がn個並ぶ
とするとき lim(n→∞)a[n]　の値を求めよ

>>63
<問題>
f:R→Rが以下を満たすとする
f(x)≧1+x
f(x+y)≧f(x)f(y)　
この時条件を満たすf(x)を全て求めよ 


正直言って、僕は全く解けませんでした
いくつかの問題はスレ内に答えが出ましたが、
それ以外の問題は答えがスレ内に出てこなかったので
答えはわかりません！
(問題を解いてる間にスレが落ちてしまって答えを聞けなかった)