大学受験数学: 髪の毛の長さの平均

<問題>以下の条件のとき、ある瞬間のA君の頭から生えている髪の毛の長さの平均を求めよ。

・A君の頭には髪の毛が生えており、髪の毛が抜けたらすぐにまた髪の毛が生えてくるものとする。
・髪の毛は１日1mmと等速度で成長する。
・髪の毛が抜けた時、その髪の毛の長さがL(mm)以上である確率は、f(L)=1-0.001Lとする（髪の毛の長さは1000mm以上になることはない）。
・A君は途中で髪を切ったり、抜かれたりすることはないものとする。

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解答は下にスクロールしたら出てきます。
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<解答>
髪の毛が長さL～L+dLで抜ける確率は-{df(L)/dL}×dL=0.001×dL
(dLは微小な値)
｛これの説明：髪の毛が抜けた時の髪の毛の長さがL以上である確率はf(L)、L+dL以上である
確率はf(L+dL)である。ゆえに、髪の毛がL～L+dLで抜ける確率は
f(L)-f(L+dL)=-{f(L+dL)-f(L)}/dL*dLである。dL→0のとき、その確率は-{df(L)/dL}*dLとなる。｝

将来的に長さがL～L+dLで抜ける髪の毛があったとする。その髪の毛をある瞬間に見たとき、
長さがL'～L'+dL'である確率は dL'/L　 (dL'は微小で、0≦L'≦L-dL')

ある瞬間に頭から生えている髪の毛を見たとき、その髪の毛の長さがL'～L'+dL'でなおかつ
その髪の毛がL～L+dLで抜ける確率は、dL'/L×0.001×dL

ある瞬間に頭から生えてる髪の毛を見たとき、その長さがL'～L'+dL'である確率は、
dLに関して積分すればいいので、
$dL' \int_{L'}^{1000}\,\ \ \frac{0.001}{L}dL =0.001dL' (\log{1000}-\log{L'})$

となる。

さらに、、ある瞬間のA君の頭から生えている髪の毛の長さの平均は、
$\int_{0}^{1000}dL'\, L' \times 0.001 (\log{1000}-\log{L'}) \\$
$=0.001\times[\log{1000}\frac{L'^2}{2}-\frac{L'^2\log{L'}}{2}+\frac{L'^2}{4}]_{0}^{1000}=250$

となる。

ある瞬間のA君の頭から生えている髪の毛の長さの平均は、250mm
この値はよくよく考えたら当たり前か
実は、こんな積分を考えなくても解けてしまう問題だった

もともと、髪の毛が抜けた時、その髪の毛の長さがL(mm)以上である確率f(L)を
eの-λL乗にしようと思ったけど、積分が難しそうだから辞めた。

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追伸：
実は、髪の毛が抜けた時、その髪の毛の長さがL(mm)以上である確率f(L)を
eの-λL乗にしても解けるということがわかった。

髪の毛が長さL～L+dLで抜ける確率はp(L)=-{df(L)/dL}×dL=λe^-λL

ある瞬間に頭から生えている髪の毛を見たとき、その髪の毛の長さがL'～L'+dL'でなおかつ
その髪の毛がL～L+dLで抜ける確率は、{p(L)/L}×dL'×dL

そして、さっきの方法を取ると、ある瞬間のA君の頭から生えている髪の毛の長さの平均は、
$\int _{0}^{\infty}dL' L'\int _{L'}^{\infty}dL \frac{p(L)}{L}$

これで、p(L)=λe^-λLを入れて計算すると、きつそうである。
（ていうか指数積分Ei(L)とか考えなければいけないぞ）
この時点では、もう計算することを諦めていた。

しかし、幾日か経った後、別の方法に気付いた。
もしかしたら、こちらが主流かもしれないし簡単に解くことができる。
さきほどの式を少し変形すると下のようになる。

$\int _{0}^{\infty}dL' \int _{L'}^{\infty}dL \, L' \frac{p(L)}{L}$

L≧0, L'≧0, L≧L' の領域についてL'×p(L)/Lを積分している。
これは、別の見方をすると、下のような積分の式になる。
$\int _{0}^{\infty}dL\int _{0}^{L}dL' \, L' \frac{p(L)}{L}$
$=\int _{0}^{\infty}dL\frac{p(L)}{L}\int _{0}^{L}dL' \, L'$

これは、L～L+dLで抜ける髪の毛をある瞬間に見たときの髪の毛の長さL'の期待値を
求めて、それから、Lに関して積分した式となる。

こう計算すると、f(L)=e^-λLでも計算できてしまう。

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大学受験数学

2014年9月15日月曜日

髪の毛の長さの平均

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