素数が無限個あることの証明

<問題>
素数が無限個あることを証明せよ。





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解答は下にスクロールしたら出てきます。
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<解答>
素数が有限個しかないと仮定する。
すると、最大の素数が存在することとなる。

ここで、素数を小さいものから順番に
P1,P2,P3,P4,・・・・・Pnとする。
最大の素数はPnと仮定している。
(素数の代数にPを使うのは、素数の英語prime numberの頭文字が
Pであるから。)

ここで新しい自然数
(P1×P2×P3・・・・・×Pn)+1を考える。

(P1×P2×P3・・・・・×Pn)+1は、
それぞれの素数P1,P2,P3・・・・Pnで割ると
余りは必ず1となり、割り切ることができない。

そもそもの素数の定義は、
1 と自分自身以外に正の約数を持たない、1 でない自然数（正の整数）のことである。

(P1×P2×P3・・・・・×Pn)+1は1と自分自身以外に約数を持たないから
素数である。

これは、最大の素数がPnであることと矛盾しており、
背理法より、素数が無限個あることが証明された。
<解答終わり>

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