⊿ABCは３辺の長さが素数で、∠ABC=120°のときの３辺の長さ

＜問題＞

⊿ABCは３辺の長さが素数で、∠ABC=120°である。その時、３辺の長さを求めよ。

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解説は下にスクロールしたところにある
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＜解説＞
さて、このネット上に出回っている問題を解きますか。
(ネット上にあったのは三角形の面積を求める問題だったけど)

これは整数の問題だから、三角形の情報から数式をつくる

三辺の長さを
AB=c、BC=a、CA=bとして、

余弦定理を使って、
2ac cos∠ABC=a²+c²-b²
∠ABC=120°で、cos∠ABC=-1/2だから、-ac =a²+c²-b²

-ac =a²+c²-b²を満たす素数a,b,cを求めよ。という問題に置き換えられる。

ある数式を満たす素数を求めよという問題って、
数式を式変形して、(素数m)×(素数n)=(整数p)×(整数q)の形にして、
整数p=1かmかnかmnか-1か-mか-nか-mnかのどれかになって・・・・
という解き方が多い気がする。

ということを考えて、-ac =a²+c²-b²を式変形していこう。
両辺に2acを足してac=a²+c²+2ac-b²
因数分解をして、ac=(a+c)²-b²

さらに因数分解 ac=(a+c+b)(a+c-b)

後は、a+c+b>0,ac>0であること、aとcは素数であることを考慮に入れると、
a+c+b=1,a+c-b=ac -①
a+c+b=a,a+c-b=c -②
a+c+b=c,a+c-b=a -③
a+c+b=ac,a+c-b=1 -④
の4つの組み合わせが考えられる。

a+b+c>1,a+b+c>a,a+b+c>cだから、
①、②、③はありえない。④だけ考えればいい。

a+c+b=ac -⑤
a+c-b=1 -⑥

文字が３つだからわけがわからない。
文字を２つに減らす

⑥よりb=a+c-1
これを⑤に代入
2a+2c-1=ac

acの項とaの項とcの項と数字があるだけだから、
(a+数字)(c+数字)=数字の形にできそうだ

ac-2a-2c=-1
(a-2)(c-2)=3

a-2とc-2は整数
a,cが素数よりa-2>=0,c-2>=0であることを考えると、
a-2=1,c-2=3となる。
(a-2=3,c-2=1ともなるが、実は三角形の辺の長さaとcは区別する必要がない)

よってa=3,c=5
さらに⑥にaとcの値を代入して、b=7

３辺の長さは3,5,7である。



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