京大が好む問題(平面と平面が交わったところは直線となる)

京大の過去問で、おもしろいなと思うものを2つ

2008理系の第3問
空間の1点Oを通る4直線で、どの3直線も同一平面上にないようなものを考える。このとき、4直線のいずれともO以外の点で交わる平面で、4つの交点が平行四辺形の頂点になるようなものが存在することを示せ。

1966理系の第３問
平地に3本のテレビ塔がある。ひとりの男がこの平地の異なる3地点A，B，Cに立って，その先端を眺めたところ、どの地点でもそのうち2本の先端が重なって見えた。このときA，B，Cは一直線上になければならない。この理由を述べよ．








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解答は下にスクロールしたら出てきます。
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<2008理系の第3問の解答>
4つの直線をA,B,C,Dとする。
AとBの2直線で平面ができる。また、CとDの2直線で平面ができる。
このできた2つの平面が交わったところは点Oを含む直線となる。
その直線と平行な線を直線A上のある点A'と直線B上のある点B'で作ることができる。
(その２点間の距離は様々な値にすることができる。ここでは、A'B'=10とする)

その直線と平行な線を直線C上のある点C'と直線D上のある点D'で作ることができる。

(その２点間の距離は様々な値にすることができる。ここでは、C'D'=10とする)

四角形A'B'C'D'は平行四辺形となる。(なぜならば、A'B'=C'D'でA'B'とC'D'が平行だから)

ゆえに、直線A,B,C,D上の4つの点で平行四辺形を作ることができる。

(ベクトルでも解けるらしい。というか河合塾の解答はベクトルだった。)

下図の赤い線は、AとBの2直線の平面とCとDの2直線の平面が交わってできた
直線である。また、下図の青い線の四角形は四角形A'B'C'D'である。



















<1966理系の第３問の解答>
3本のテレビ塔の先端をX,Y,Zとする。
3点X,Y,Zでできる平面上に点A,B,Cが乗る
また点A,B,Cは3点X,Y,Zでできる平面と地平面の交線上にある。
この交線は直線となるので、A,B,Cは一直線上にある。


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